両親が離婚すると父親か母親のどちらかが親権者になるわけですが、どちらが親権者になっても子供の戸籍と苗字に変更はありません。（母親が妊娠中に離婚した場合も同様です）
離婚するという事は、片方が戸籍から抜けるという事になります。母親が戸籍から抜けて子供の親権者となったとしても、そのままでは子供の戸籍と姓に変更はありません。
親権者が父親で母親が戸籍から抜ける場合、父親と子供は同じ戸籍で同じ苗字ですから、なんら問題はないでしょう。しかし、子供を引き取った母親が離婚して旧姓に戻った場合は、手続きを行わないと親子で違う姓を名乗る事になってしまいます。
また、引き取った側が旧姓に戻らず新しい戸籍を作った場合、親子の姓は同じですが戸籍上は違う戸籍という事になってしまいます。遠隔地であった場合にはいろいろと不都合が起る場合もあるでしょうし、気分的にもすっきりしない事もあるでしょう。
引き取った側と同じ戸籍と姓にしたい場合には、新しい戸籍を作る⇒家庭裁判所に子供の氏の変更許可を申し立て、許可を得る⇒変更許可を得たら、子供を新しい戸籍に入籍させるという手順が必要になります。
この手順は、引き取った側が離婚前の姓でも、旧姓に戻っても同じ手順です。
